朱世杰《四元玉鉴》
朱世杰创立"四元术"解四元高次联立方程组，并以垛积招差贯通高阶差分与级数。
背景
《四元玉鉴》为元代数学家朱世杰于 1303 年所著，是中国宋元数学的集大成之作，也是世界数学史上最早的多元高次方程组专著。书名”四元”指天、地、人、物四个未知数。
详细描述
四元术把李冶的”天元术”推广到四元：以算筹在平面上不同方位布列 四元的各项系数，建立四元高次联立方程组，并通过”剔消”（消元法）逐步降元求解。这是 16 世纪以前世界范围内最先进的多元代数。
垛积招差则是朱世杰另一高峰：他用”招差术”（高阶有限差分插值）统一处理了各种高阶等差级数（垛积）求和，给出幂和公式与插值公式，其三角垛求和已蕴含二项式系数与差分的关系，比欧洲牛顿的插值公式早约三个世纪。
求解过程 / 影响
《四元玉鉴》代表了中国古代代数的最高成就，四元术与垛积招差在方程理论与组合级数上均领先世界数百年。随着元明之际筹算传统的衰落，这些方法未及进一步发展便趋于沉寂；但它在东传后深刻影响了朝鲜、日本数学，也是今天理解中国古代符号代数高度的钥匙。