概述

偏微分方程（MSC 35）研究含多元未知函数偏导数的方程，是描述连续介质、场与波的核心语言。主要问题包括：按型分类（椭圆、抛物、双曲）的解的存在、唯一与正则性、适定性（Hadamard）、变分与弱解（Sobolev 空间，1930 年代）、以及非线性现象（激波、孤立子、极小曲面、调和映射）。

它由 Euler、Laplace、J. Fourier（热方程）与 A. Cauchy 发端。20 世纪，D. Hilbert（第 19、20 问题）、S. Sobolev（广义函数与 Sobolev 空间）、L. Schwartz（分布论）与 J. Leray（弱解）建立了现代理论框架。千禧年难题中的 Navier–Stokes 方程整体存在性即属此领域。

它连接微分几何、流体力学、傅里叶分析与变分法，是应用分析的枢纽。