概述

微分几何（MSC 53）用微积分、线性代数与张量分析研究光滑流形上的几何结构。高斯在曲面论中证明”绝妙定理”：曲面的高斯曲率可由第一基本形式决定，从而是内蕴不变量。黎曼在 1854 年的就职演说中引入 $n$ 维黎曼度量与曲率张量，奠定了现代微分几何的基础。

核心对象包括度量（定义长度与角度）、联络（定义平行移动与协变导数）以及由它们导出的曲率。高斯-博内定理将曲面的总曲率积分与欧拉示性数相联系；更一般地，陈省身等人发展的示性类理论把拓扑不变量表示为曲率的形式。1963 年阿蒂亚与辛格证明的指标定理指出，紧流形上椭圆微分算子的解析指标等于其拓扑指标，统一了黎曼-罗赫、Hirzebruch 符号差等经典结果。

微分几何与物理深刻交织：爱因斯坦的广义相对论用伪黎曼几何描述引力，杨-米尔斯理论用联络描述规范场。极小曲面、几何流（如 Ricci 流）与几何分析是当代研究前沿。