概述

代数几何（MSC 14）研究由多项式方程组定义的几何对象（代数簇，现代用概型）及其几何、算术与拓扑性质。主要问题包括：簇的分类与奇点消解、上同调（Weil、Grothendieck 的 étale 与导出范畴）与相交理论、模空间（如曲线的模空间 $\mathcal{M}_g$ ）、以及有理点分布（Mordell 猜想，Faltings 1983）。

其源头可溯至 Fermat 与 B. Riemann（黎曼曲面）。20 世纪上半叶，A. Weil 建立代数几何的严格基础；1960 年代 A. Grothendieck 以概型与层范畴彻底重构该领域。代数几何与数论深度交织：A. Wiles 借助椭圆曲线与模形式于 1994 年证明费马大定理，是二者交融的里程碑。

它与交换代数、微分几何、范畴论共同构成现代数学的核心枢纽。