概述

交换代数（MSC 13）研究交换环、理想及其上的模。主要问题包括：Noether 环与 Artin 环的结构、整扩张与整闭包、素谱 $\operatorname{Spec} R$ 的几何解释、维数理论（Krull 维数）、局部化与完备化、平坦性与正合性。

它由 D. Hilbert（基定理、零点定理）与 E. Noether（理想论的公理化）奠基，经 W. Krull（局部环、维数理论）发展成熟。20 世纪中叶，O. Zariski 与 A. Weil 将交换代数用作代数几何的基础，随后 A. Grothendieck 以概型(scheme)语言把”交换环 ↔ 仿射概型”的对应确立为核心范式。

因此交换代数既是独立的代数分支，也是代数几何、代数数论与同调代数的基本工具。