概述

域论与多项式（MSC 12）研究域及其扩张、多项式的根与伽罗瓦对应。主要问题包括：代数方程的可解性判据（伽罗瓦，1832）、域扩张的次数与可分性、范数与迹、超越度与纯超越扩张，以及多项式的因式分解、判别式与结式。

伽罗瓦理论通过把域扩张的对称群（伽罗瓦群）与多项式根的关系对应起来，一举解释了为何五次及以上一般方程无根式解，并统一了古代三大几何难题不可解性的证明。L. Kronecker 与 R. Dedekind 奠定了域作为抽象结构的概念，E. Steinitz 在 1910 年的论文给出了域的系统性分类（特征、素域、代数闭包）。

域论是数论（代数数域）、代数几何（函数域）与群论之间的桥梁。