数论概述
数论（Number Theory，MSC 11）研究整数、有理数以及更一般的”数系”的算术性质。它被视为数学的”纯中之纯”——高斯曾言”数学是科学的女王，数论是数学的女王”。
主要分支
- 初等数论：整除、同余、二次剩余、连分数；
- 解析数论：用复分析工具（如黎曼 函数）研究素数分布；
- 代数数论：在代数数域与理想类中工作，源于费马大定理的研究；
- 算术几何：用代数几何方法研究丢番图方程（如椭圆曲线）。
为何重要
许多现代密码学（RSA、椭圆曲线密码）直接建立在数论难题之上；而数论中提出的问题（如黎曼猜想、哥德巴赫猜想）又不断拉動整个数学的发展。
主要研究问题
- 素数在整数中如何分布？（素数定理、黎曼猜想）
- 哪些整数可表为两个平方之和？
- 丢番图方程何时存在整数解或有理数解？
- 模形式与椭圆曲线之间有何深刻对应？（谷山–志村）