概述

流形与胞腔复形（MSC 57）研究局部同胚于欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 、整体却可能高度弯曲或缠绕的空间。拓扑流形仅要求局部欧氏结构；若进一步带有光滑（或分段线性、逐片线性）结构，则成为微分流形或 PL 流形。胞腔复形则是用圆盘沿边界粘合构造空间的组合工具。

庞加莱于 1904 年提出著名猜想：单连通的闭三维流形必同胚于三维球面。该问题历经近百年，瑟斯顿提出几何化纲领，汉密尔顿发明 Ricci 流，最终由佩雷尔曼在 2002–2003 年三篇预印本中以”带手术的 Ricci 流”完成证明，并因此获 2006 年菲尔兹奖（他拒领）与 2010 年克莱千禧奖（亦拒领）。

微分拓扑研究光滑结构的有无与唯一性（如米尔诺的怪异球面），而 surgery 理论与配边是主要分类手段。流形是几何、分析与物理的天然舞台。