概述

代数拓扑（MSC 55）通过把拓扑空间转化为代数对象（群、环、模）来研究其形状。庞加莱在 19 世纪末研究多面体时引入贝蒂数与基本群，催生了这一学科。核心工具有同调与同伦：同调群 $H_n(X)$ 计数 $n$ 维”洞”，而基本群 $\pi_1(X)$ 记录环路的可收缩性。

覆叠空间理论与基本群通过 Galois 式的对应相联系；高阶同伦群 $\pi_n$ 则更难计算但信息更丰富。建立在之上的同调论（奇异、单纯、Čech 等）满足 Eilenberg–Steenrod 公理。上同调还带有乘法结构（上积），孕育出示性类理论。

代数拓扑与范畴论、K 理论深度交叉：Eilenberg–Steenrod、Serre、谱序列与同伦论的发展，使得人们能用代数方法攻克流形分类（如配边、示性类）。它在微分拓扑、代数几何与数学物理中都是基本语言。