概述

K 理论（MSC 19）通过把向量丛（拓扑）或投射模（代数）的稳定同构类组织成群，构造强大的同伦与同调不变量。主要问题包括：拓扑 K 理论（Atiyah–Hirzebruch，1961）、代数 K 理论（Grothendieck，1957 用于簇的向量丛；Quillen，1970 年代用 $Q$ -构造）、以及 K 群与指标定理（Atiyah–Singer）、算术几何（Birch–Swinnerton-Dyer、Voevodsky 的 motivic 同调）的联系。

拓扑 K 理论源于 Atiyah 与 Hirzebruch 把矢丛的 Grothendieck 群用于拓扑不变量；代数 K 理论则由 Grothendieck 在描述簇的有理等价时提出 $K_0$ 。Milnor 定义 $K_2$ 、Quillen 建立高阶 $K_n$ ，Bass 提出白陷群。

K 理论横跨代数拓扑、代数几何、算子代数与数论，是连接几何与算术的桥梁。