概述

全局分析（MSC 58），或称流形上的分析，研究定义在微分流形上的微分方程、变分问题与算子。它是微分几何、拓扑与泛函分析的交汇。一个里程碑是 1963 年阿蒂亚与辛格的指标定理：紧流形上椭圆算子 $D$ 的解析指标 $\dim\ker D - \dim\coker D$ 等于由示性类构造的拓扑指标，从而把”解方程的个数”这一分析问题化为拓扑不变量。

这一方向还包括莫尔斯理论（用函数临界点研究流形拓扑）、调和映射与极小子流形、以及几何流（Ricci 流、平均曲率流）的演化方程。现代几何分析借助非线性偏微分方程（如 Yang–Mills、爱因斯坦方程）揭示流形的刚性与分类。

全局分析与数学物理关系紧密：规范场论、弦论中的模空间研究都依赖流形上的分析工具。它是当代微分几何最核心的方法论之一。