概述

泛函分析（MSC 46）研究无限维线性空间（赋范空间、Banach 与 Hilbert 空间）及其上的线性算子。主要问题包括：空间的对偶与弱拓扑、基本定理（Hahn–Banach 延拓、开映射、闭图像、一致有界原理）、线性算子的谱理论，以及 Banach 代数与 $C^*$ -代数。

它成形于 20 世纪初：D. Hilbert 在积分方程研究中引入无限维几何；F. Riesz 建立 $L^p$ 空间与表示定理；S. Banach 在 1932 年的专著《线性算子论》确立 Banach 空间理论。J. von Neumann 以 Hilbert 空间公理化量子力学（1932），使该领域成为数学物理的支柱。

它是算子理论、偏微分方程与量子理论的统一语言。