概述

概率论（MSC 60）研究随机现象的数量规律。早在 17 世纪，帕斯卡、费马通过赌博问题开启对”机会”的数学研究；伯努利、棣莫弗、拉普拉斯发展了大数律与中心极限定理的雏形。但直到 1933 年，柯尔莫哥洛夫在《概率论基础》中以测度论把概率建立在严密公理之上：概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 是一个总测度为 1 的测度空间，事件为可测集，随机变量为可测函数。

在此框架下，期望是积分，独立性由乘积测度刻画，条件期望是投影。经典结果包括强大数律、中心极限定理、以及鞅收敛定理。随机过程（指标集为时间或空间的随机变量的族）研究随时间演化的随机系统：布朗运动（维纳过程）、泊松过程、马氏过程与平稳过程是其核心对象。

概率论与测度论、统计力学及数理统计深度联系，也是金融数学、排队论与随机分析的基础。伊藤清在 1940 年代创立的随机积分，使概率论成为现代金融与物理不可或缺的语言。