概述

凸与离散几何（MSC 52）研究凸集以及由有限或可数对象构成的离散几何结构。凸集指包含其任意两点连线段的集合，是这一方向的基石；围绕凸集发展出丰富的理论，如支撑超平面、凸包、Minkowski 加法以及 Brunn–Minkowski 理论与等周不等式。

最著名的问题是球的最密堆积：开普勒于 1611 年猜想在三维空间中球的面心立方堆积密度最高（约 $\pi/\sqrt{18}$ ），该猜想由 Hales 在 1998 年借助大量计算机辅助计算完成证明。高维情形（如 $E_8$ 、Leech 格）的堆积由 Viazovska 等人于 2016 年前后解决。离散几何还研究格点、多面体的面结构（Euler 公式 $V-E+F=2$ 及其高维推广）以及覆盖与平铺问题。

该分支与组合数学、数论（格点计数）、优化（凸分析）及信息论（球形编码）关系密切。其方法融合几何直觉、组合论证与分析不等式，是连接纯数学与应用数学的活跃领域。