概述

几何学（MSC 51）是研究空间、图形及其变换下不变性质的数学分支，其源头可追溯至古希腊欧几里得《几何原本》所建立的演绎体系。现代几何已分化为多个方向：欧氏几何研究距离与角度，仿射与射影几何关注在对应变换下保持不变的关联性质，而有限几何、非欧几何则拓展了公理基础。

该领域的核心问题包括：在给定变换群作用下哪些性质是保持不变的（克莱因在他的爱尔兰根纲领中系统阐述了这一观点，把几何理解为研究某变换群下不变量的学科）；如何用公理刻画平行公理、连续性与维度；以及如何对多边形、多面体及更一般的构形进行分类。

历史上，笛卡尔引入坐标法使几何与代数结合（解析几何），高斯、波约与罗巴切夫斯基建立非欧几何，从根本上改变了人们对空间的认识。今天几何学与应用紧密相连：计算机图形学依赖射影几何，编码与密码学使用有限几何，而几何直观也为微分几何与拓扑学提供了土壤。几何对象如多面体、格点、圈套等仍是组合与离散数学研究的重心。