杨辉《详解九章算法》与杨辉三角

杨辉保存并阐释贾宪"开方作法本源图"，即二项式系数三角，兼及垛积与幻方。

时代: 中世纪
文明 / 地域: 中国古代

背景

杨辉是南宋数学家（约 13 世纪），其《详解九章算法》（1261）等著作以通俗阐释、保存古法见长。他最为人知的是在书中收录了源自贾宪（11 世纪）的”开方作法本源图”，使这一重要图式得以传世。

详细描述

这张图即今日所说的杨辉三角（西方称帕斯卡三角、印度称 Pingala 三角），是一个二项式系数三角阵：第 $n$ 行即 $(a+b)^n$ 展开系数，满足 $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ 杨辉注明”贾宪用此术”，证明它早于帕斯卡约四百年。

杨辉还系统研究垛积术（高阶等差级数求和，如方垛、三角垛的体积式累加），以及纵横图（即幻方，从三阶洛书到复杂图形），并把大量算法口诀化、图示化，便于教学。

求解过程 / 影响

杨辉的工作兼具”保存”与”发明”：他使贾宪三角、增乘开方法等宋初成果免于失传，又亲自发展垛积与幻方理论。杨辉三角成为组合数、概率与代数共同的基础图形，东西方的同名发现（帕斯卡 1654、杨辉 1261）也常被并提，彰显了数学的跨文明共性。