秦九韶《数书九章》

秦九韶创"大衍求一术"与"正负开方术"，确立一般剩余定理与高次方程数值解法。

时代: 中世纪
文明 / 地域: 中国古代

背景

《数书九章》（初名《数术大略》）为南宋数学家秦九韶（1202—1261）于 1247 年编成，分九类八十一问，内容涵盖天文历法、营建、军旅、市易、田域、测望等，是中国宋元数学的代表作之一。

详细描述

两大核心创造：

其一，大衍求一术——一般化的”物不知数”解法。对任意互素的模数，秦九韶给出求”乘率”（即模逆元）的算法，从而彻底解决同余方程组 $x\equiv r_i\pmod{m_i}$ 这是中国剩余定理的完整算法表述，比西方高斯的系统论述早约五个世纪。

其二，正负开方术——高次方程数值解法。对任意次方程 $a_nx^n+\cdots+a_0=0$ 用类似今日的**霍纳法（Horner’s method）**层层”翻积”，求得正根。此法与 19 世纪霍纳独立发现的程序实质相同。

此外书中还有”三斜求积”（已知三边求三角形面积，即推广的海伦公式 $S=\sqrt{\frac14\bigl(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4\bigr)}$ ）等成就。

求解过程 / 影响

《数书九章》集宋代算学之大成，其大衍求一术与正负开方术分别把数论与代数方程推向当时世界顶峰。秦九韶与西方的丢番图、卡尔达诺遥相辉映，而他的算法思想至今仍是计算机求解多项式与模逆的基础。