斐波那契《算盘书》与斐波那契数列

背景

列奥纳多·皮萨诺（约公元 1170—1250 年），绰号斐波那契（“波那契之子”），随父往来于北非与地中海。公元 1202 年出版《算盘书》（Liber Abaci），这部巨著是印度—阿拉伯数字征服欧洲的关键一步。

《算盘书》系统介绍十进制数字 $0,1,\dots,9$ 与位值制算法，取代欧洲沿用已久、繁复易错的罗马数字与算板。书中涵盖整数与分数运算、比例、利息、开方及大量应用问题，使商人、会计师得以高效计算。

最广为流传的是第十二章的兔子问题：一对兔子每月生一对新兔，新兔两月后始育，问一年内繁衍多少对？由此得到数列

$F_0=0,\quad F_1=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2},$

即 斐波那契数列 $1,1,2,3,5,8,13,\dots$ 。相邻项之比 $F_{n+1}/F_n$ 趋近于黄金比

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618.$

《算盘书》虽未立即淘汰罗马数字，却为近代欧洲商业与科学计算铺平道路；斐波那契数列后来在植物叶序、黄金分割、连分数及计算机算法中反复出现，成为数论与离散数学的经典对象。斐波那契因此被视为中世纪向文艺复兴数学过渡的桥梁人物。