纳维–斯托克斯存在性与光滑性问题的提出

纳维–斯托克斯方程描述流体运动，其三维修道存在性与光滑性仍属开放难题。

时代: 20世纪
文明 / 地域: 欧洲

背景

纳维–斯托克斯方程是描述流体（水、空气等）运动的基本偏微分方程，由纳维（1822）与斯托克斯（1845）先后建立。它兼具物理直观与数学深度，但其最基础的数学问题——解是否存在、是否光滑——至今未决。

详细描述

不可压缩纳维–斯托克斯方程写作：

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p+\nu\Delta\mathbf{u}+\mathbf{f},\qquad \nabla\cdot\mathbf{u}=0,

其中 $\mathbf{u}$ 为速度场， $p$ 为压强， $\nu$ 为运动粘度， $\mathbf{f}$ 为外力。方程的数学核心问题是：

给定光滑、散度为零且在大距离处充分快速衰减的初始速度场，在三维欧氏空间上，是否存在对所有 $t\ge 0$ 都唯一、光滑、有限能量的解？

求解过程 / 影响（含最新进展若相关）

该问题被克莱数学研究所列为”千禧年七大难题”之一（官方陈述由Charles Fefferman撰写）。二维情形的整体存在性与光滑性有经典结果；但三维情形的全局正则性仍完全开放——其困难与湍流的数学本质相关。若证明解必然爆破（丧失光滑性）或始终光滑，都将深刻改变流体力学与偏微分方程理论。目前仅有若干部分结果（如小初值、轴对称等特殊情形下的整体光滑解）。