世界数学发展史
数学问题

纳维–斯托克斯存在性与光滑性

三维不可压缩纳维–斯托克斯方程在任意初值下是否始终存在全局光滑解，抑或会出现有限时间奇点。

状态
未解决
提出
2000
提出者
千禧年问题
分支
fluid-mechanics

详细描述

纳维–斯托克斯方程描述粘性不可压缩流体的运动：

∂v∂t+(v⋅∇)v=−∇p+νΔv+f,∇⋅v=0\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=-\nabla p+\nu\Delta\mathbf{v}+\mathbf{f},\qquad \nabla\cdot\mathbf{v}=0

其中 v\mathbf{v} 为速度场，pp 为压强，ν>0\nu>0 为运动粘度。千禧年问题的精确表述由 Charles Fefferman 给出：在三维空间 R3\mathbb{R}^3 或环面 T3\mathbb{T}^3 上，给定光滑初值，是否存在对所有时间定义、且保持光滑（无限可微）的速度场与压强场满足方程；或反之，能否构造出有限时间失光（blow-up）的反例。

最新进展

Leray（1934）对初值 u0∈L2(R3)u_0\in L^2(\mathbb{R}^3) 证明了全局弱解（今称 Leray–Hopf 解）的存在性并满足能量不等式，但其唯一性与正则性仍开放。Ladyzhenskaya（1959）证明二维情形全局光滑解存在唯一；Caffarelli–Kohn–Nirenberg（1982）证明任何合适弱解奇异集的一维抛物 Hausdorff 测度为零。局部光滑解对充分正则初值存在，但能否延拓到全时间未知。该问题与黎曼、庞加莱[已解]、霍奇、杨-米尔斯、BSD、P/NP 同为七大千禧年难题。

意义

理解纳维–斯托克斯方程是理解湍流这一物理学最大未解难题的第一步。方程的超临界性（能量估计只控制 L2L^2 范数，而尺度临界的 H˙1/2\dot{H}^{1/2} 正则性无法由能量不等式传播）构成核心解析障碍，其解决可能需要全新的数学工具。

参考资料