奇完全数存在性问题

详细描述

完全数指等于其真因子之和的正整数，如 $6=1+2+3$、$28=1+2+4+7+14$。欧几里得《几何原本》给出偶完全数公式：若 $2^p-1$ 为梅森素数，则 $2^{p-1}(2^p-1)$ 是完全数；欧拉证明此即全部偶完全数（欧几里得–欧拉定理）。然而是否存在奇完全数，至今未知。

欧拉证明：若存在奇完全数 $n$，则必呈形式

$n=p^a m^2$

其中 $p$ 为素数且 $p\equiv a\equiv 1\pmod 4$（$p$ 称 Euler 素数），$m$ 为奇数且与 $p$ 互素。Touchard（1953）进一步证明 $n\equiv 1\pmod{12}$ 或 $n\equiv 9\pmod{36}$。现代结果还表明：奇完全数若存在，至少有 9 个不同素因子（若不含 3 则至少 11 个），至少约 101 个素因子（计重数），最大素因子大于 $10^8$。

最新进展

计算排除持续推高下界：至 2012 年 Ochem–Rao 结果，任何奇完全数若存在，必大于 $10^{1500}$（即至少 1500 位十进制数字）。尽管如此，所有尝试仅能排除有限范围的候选，无法从原理上否定存在性；也无人构造出实例。笛卡尔、欧拉、西尔维斯特等历代大家都曾深究而不得其解。大量排除性结果使多数数学家倾向其不存在，但”倾向”非证明。

意义

奇完全数问题是数论最古老、最朴素的未解之谜之一，源自古希腊。它驱动了因子和函数 $\sigma(n)$、丰度指数、筛法与大规模计算的发展，并持续检验我们对整数乘法结构的理解极限。

参考资料

• Perfect number — Wikipedia (Odd perfect numbers)
• Ochem, P., Rao, M. (2012). Odd perfect numbers that are not divisible by 3. arXiv
• Plus Magazine — Perfectly odd