佩雷尔曼证明庞加莱猜想
2002–2003年佩雷尔曼用里奇流证明庞加莱与几何化猜想，拒领大奖。
背景
庞加莱猜想自1904年提出后悬置近百年，成为拓扑学核心难题，并于2000年被列为克莱数学研究所”千禧年七大难题”之一（见”庞加莱猜想的提出”与”千禧年七大数学问题公布”）。1980年代，汉密尔顿引入里奇流，但卡在奇点难以处理。
详细描述
2002年11月至2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）在arXiv预印本服务器上连续张贴三篇论文，基于汉密尔顿的里奇流（Ricci flow）展开攻击。他提出”带手术的里奇流（Ricci flow with surgery）“，并引入”熵”与L泛函等新技术，精确刻画并穿越里奇流演化中出现的奇点，从而证明瑟斯顿几何化猜想——这自然包含了庞加莱猜想作为特例。
佩雷尔曼刻意不将论文投往传统同行评审期刊，而仅以预印本形式公开，并赴美国多所院校讲学。
求解过程 / 影响（含最新进展若相关）
经过数年由多组数学家（克莱纳–洛特、摩根–田刚、曹怀东–朱熹平等）撰写的详细核验，2006年数学界达成共识：证明正确。佩雷尔曼因此获2006年菲尔兹奖与2010年千禧年百万美元大奖，但两者均拒绝领取，理由是认为荣誉应与其他贡献者（尤其汉密尔顿）共享、且不满数学界的评价方式。这一证明不仅解决百年难题，更深刻影响了几何分析、微分几何与三维拓扑，并验证了里奇流这一分析工具在拓扑问题中的巨大威力。