庞加莱猜想
单连通的三维闭流形必同胚于三维球面；2002–2003 年佩雷尔曼以里奇流证明。
详细描述
1904 年，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在拓扑学研究中提出：任意一个单连通的三维闭流形（即其中每条闭曲线都可连续收缩为一点，且自身包含全部聚点）必然同胚于三维球面 。直觉上，它断言”没有洞的三维空间形状就是三维球”。庞加莱 1905 年修正了初稿中的失误；该命题后被推广为更高维的庞加莱猜想：任何与 维球面同伦的 维闭流形必同胚于 维球面。
求解过程
高维情形率先被攻克：
- 斯梅尔（S. Smale, 1961） 证明 时成立，获菲尔兹奖；
- 弗里德曼（M. Freedman, 1982） 证明 时成立，亦获菲尔兹奖；
- 最困难的 情形留到最后。美国数学家哈密顿（R. Hamilton） 在 1982 年提出用里奇流（Ricci flow）光滑化流形曲率来逼近球面，却在奇点处卡住。
2002 年 11 月至 2003 年 7 月，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman） 在 arXiv 上连续发表三篇预印本，引入”里奇流带手术”（Ricci flow with surgery）与熵单调性公式，彻底克服了奇点障碍，不仅证明庞加莱猜想，也证明了更一般的威廉·瑟斯顿几何化猜想。佩雷尔曼拒绝领取 2006 年菲尔兹奖与 2010 年克莱数学研究所百万美元奖金。
意义
庞加莱猜想是克莱数学研究所”千禧年七大难题”中首个被解决者。佩雷尔曼的工作把几何分析、微分几何与三维拓扑连成一体，其思想深刻影响了现代几何与数学物理。