平行公设的独立性
欧氏平行公设不能由其余公理推出；罗巴切夫斯基等建立非欧几何证明独立。
详细描述
欧几里得《几何原本》的第五公设（平行公设）表述为：若一条直线与两直线相交，同侧内角之和小于两直角，则这两直线在该侧终将相交。它比其余公理都复杂，两千年来无数人试图用其他公理证明它，即证明它并非独立。这一努力的失败最终导向相反的结论：平行公设独立于欧氏其余公理——否定它不会引发矛盾，而会产生同样自洽的几何。
求解过程
- 19 世纪初，高斯、罗巴切夫斯基（N. Lobachevsky）、波约（J. Bolyai） 各自独立认识到不可能从其余公理推出平行公设。罗巴切夫斯基（1829–1830）与波约（1832）先后发表双曲几何（过直线外一点有无穷多条平行线），三角形内角和小于 。
- 黎曼（B. Riemann, 1854） 在就职演说中建立更一般的黎曼几何，提出椭圆几何（同一平面内任意两直线必相交，内角和大于 ）。
- 关键一步是证明其无矛盾性：贝尔特拉米（E. Beltrami, 1868） 给出双曲几何在欧氏空间中的具体模型（后称 Beltrami–Klein 模型），说明若欧氏几何无矛盾，则双曲几何也无矛盾——从而平行公设确为独立公理。克莱因（F. Klein, 1871） 用凯莱–克莱因度量统一给出双曲与椭圆几何的模型，并定名”双曲""椭圆""抛物（欧氏）“几何；庞加莱 1880 年代又给出庞加莱圆盘模型。
意义
平行公设独立性的确立，粉碎了”欧氏几何是空间唯一真理”的形而上学信念，催生非欧几何，并为相对论（弯曲时空）与近代微分几何铺平了道路——史称”几何学的 liberation”。