弱哥德巴赫猜想

详细描述

弱哥德巴赫猜想（Goldbach’s weak conjecture，又称奇数哥德巴赫猜想、三素数问题）断言：任一大于 $5$ 的奇数都可写成三个素数之和，即

$n = p_1 + p_2 + p_3 \qquad (n>5\text{ 为奇数}).$

它被称为”弱”，是因为若强哥德巴赫猜想（偶数表为两素数之和）成立，则对每个奇数 $n>5$ 有 $n-3$ 为大于 $2$ 的偶数，从而 $n=(n-3)+3$ 自然可表为三素数之和。该猜想源出 1742 年哥德巴赫与欧拉的通信。

求解过程

• 1923 年，哈代与李特尔伍德在广义黎曼假设下证明其对充分大奇数成立；1937 年维诺格拉多夫去掉该假设，证得”充分大”奇数可表为三素数之和，但未给出可计算下界。
• 后续工作逐步压低下界：1997 年 Deshouillers 等人在广义黎曼假设下处理大于 $10^{20}$ 的部分；2002 年廖明哲、王天泽把下界降至约 $2\times10^{1346}$。
• 哈儿佛戈特（Harald Helfgott, 2013） 用哈代–李特尔伍德–维诺格拉多夫圆法、筛法与指数和，把”充分大”的下界降到约 $10^{30}$；其合作者大卫·普拉特（David Platt）用计算机在广义黎曼假设（于所需范围）下验证了该界以下的所有奇数，从而完成全部证明。两篇预印本《Minor arcs for Goldbach’s problem》与《Major arcs for Goldbach’s theorem》于 2013 年 5 月发表。

意义

弱哥德巴赫猜想是加性数论中最古老的未决问题之一，历时 271 年终被解决。赫爾夫戈特的工作把圆法推进到真正可计算的尺度，也连带改进了关于”每个偶数可表为至多若干素数之和”的相关结果。

参考资料

• Goldbach's weak conjecture — Wikipedia
• Goldbach's conjecture — Wikipedia
• Helfgott, H. A. (2013). Major arcs for Goldbach's theorem. arXiv:1305.2897