四平方和定理

详细描述

四平方和定理（Lagrange’s four-square theorem）断言：每一个非负整数 $n$ 都可表示为四个整数的平方和，即存在整数 $a,b,c,d$ 使

$n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2.$

例如 $7 = 2^2+1^2+1^2+1^2$，$23 = 3^2+3^2+2^2+1^2$。该命题与更早的二平方和（仅 $4^a(8b+1)$ 型数可表）情形形成对照：并非每个数都能写成两个或三个平方数之和，但四个总是够用。

求解过程

• 费马（P. de Fermat）曾证明二平方和与三平方和的判别条件（三平方和要求 $n$ 不为 $4^a(8b+7)$ 型）。
• 拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange） 于 1770 年 给出四平方和的完整证明。其关键一步是证明：若两个自然数都能表为四平方和，则它们的乘积也能（利用四元数型恒等式，即欧拉四平方恒等式）；再结合”只需处理素数”的归约，以及对素数 $p$ 构造出被 $p$ 整除的某个四平方和，从而完成证明。
• 欧拉对拉格朗日的证明给出了重要补充与简化，四平方恒等式也常冠以欧拉之名。

意义

四平方和定理是堆垒数论（加性数论）的奠基性结果之一，开启了”每个数能否写成固定个某种幂之和”的华林问题（Waring’s problem）研究，并与四元数代数、二次型表示理论紧密相关。

参考资料

• Lagrange's four-square theorem — Wikipedia
• Fermat's theorem on sums of two squares — Wikipedia
• Proof of Lagrange's four-square theorem — Wikipedia