欧拉：分析学、图论与拓扑萌芽

背景

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707–1783）是瑞士数学家，先后任职于圣彼得堡科学院与柏林科学院。18世纪的数学正从微积分的诞生走向系统化，欧拉是把这门新学科整理为连贯”分析学”的关键人物，其著作量在历史上罕见。

详细描述

欧拉把函数概念置于分析的核心，引入 $f(x)$ 记法，并系统研究指数函数、对数函数与三角函数，建立了联系分析、几何与复数的欧拉公式

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,$

以及著名恒等式 $e^{i\pi}+1=0$。在数论中，他证明费马小定理的推广、引入欧拉函数 $\varphi(n)$（表示不超过 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数个数），并给出

$\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

的著名求和。他还深入研究了无穷级数、Gamma 函数、常微分方程与变分法，并提出多面体公式 $V-E+F=2$。

求解过程 / 影响

1736年欧拉发表《力学》以分析方法处理刚体运动，同年解决哥尼斯堡七桥问题，开创图论与拓扑学萌芽（见同名条目）。他一生发表800余篇论文与著作，其《无穷分析引论》《微分学》《积分学》成为18世纪分析学的标准教科书，把微积分从几何直观提升为系统的函数分析。欧拉的工作不仅统一了当时的数学分支，更为19世纪分析严格化、数论与组合数学奠定基础；其记号与术语（如 $\pi$、$e$、$i$、$\Sigma$、$\Delta$）沿用至今。

相关条目

学科分支

• real-functions
• combinatorics
• number-theory