伯努利家族与微积分应用
雅各布与约翰·伯努利推动微积分应用，开创变分法雏形与概率早期结果。
背景
17 世纪末至 18 世纪，瑞士伯努利家族涌现出数位杰出数学家，尤以雅各布·伯努利（Jacob，1654—1705）与约翰·伯努利（Johann，1667—1748）兄弟为代表。他们紧跟牛顿与莱布尼茨的微积分，将其推向广阔的应用前沿。
详细描述
雅各布·伯努利研究悬链线（两端固定的链条所成曲线）、对数螺线，并在概率论上贡献卓著：他提出大数定律的雏形，发现伯努利数出现在幂和公式中，还研究等周问题。
约翰·伯努利提出了著名的最速降线问题（brachistochrone）：在重力下，两点间哪条曲线使下滑时间最短？解法引出变分法的雏形（求使积分取极值的曲线）。他还推动了弦振动方程、指数/对数积分的研究，并培养了欧拉。
求解过程 / 影响
伯努利家族是微积分从发明走向成熟的关键推手：变分法经欧拉、拉格朗日发展为独立分支，大数定律成为概率论基石，而他们对级数、微分方程与力学的贡献直接孕育了欧拉的巨著。一个家族数代接力，堪称科学史上的奇观。