阿特勒·塞尔伯格 · 世界数学发展史

获奖原因

阿特勒·塞尔伯格（1917–2007）是二十世纪数论巨匠。他给出素数定理的初等（非复分析）证明，建立塞尔伯格筛法与塞尔伯格迹公式，将谱理论与自守形式、数论融为一体。

塞尔伯格的两大成就最为人称道。

素数定理的初等证明（1949）。素数定理断言 $\pi(x)\sim x/\log x$ 。传统证明依赖黎曼 zeta 函数的解析延拓与留数。塞尔伯格与埃尔德什各自独立给出完全初等的证明——仅用实数分析与组合估计，不触及复变量。其关键在于塞尔伯格的恒等式：

\sum_{d\le x}\Lambda(d)\log\tfrac{x}{d}+\sum_{ab\le x}\Lambda(a)\Lambda(b)=2x\log x+O(x),

其中 $\Lambda$ 为冯·曼戈尔特函数。这一恒等式连同精巧的上下界估计，绕开了复分析而得到 $\pi(x)$ 的渐近。该结果震动学界，被视为”不懂复数也能证明深奥数论定理”的范例。

塞尔伯格迹公式（1950s）。设 $\Gamma\subset \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 为余有限 Fuchsian 群，作用在双曲上半平面 $\mathbb{H}$ 上。塞尔伯格证明联系”谱侧”与”几何侧”的等式：

\sum_{j} h(r_j) = \frac{\operatorname{Area}(\Gamma\backslash\mathbb{H})}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty} r\,h(r)\tanh(\pi r)\,dr + \sum_{\{\gamma\}} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log N(\gamma_0)}{N(\gamma_0)^{k/2}-N(\gamma_0)^{-k/2}}g(k\log N(\gamma_0)),

其中左侧为拉普拉斯算子的特征值（谱），右侧为尖点（cusp）与双曲共轭类（长度 $=\log N(\gamma)$ ）。这把群上自守函数的谱与闭测地线几何对应起来，是”动态系统—谱—数论”的桥梁。

塞尔伯格迹公式是当今自守形式、朗兰兹纲领与量子混沌（“塞尔伯格 zeta 函数”）的核心工具；其非交换推广通向阿瑟迹公式与朗兰兹函函性。他还提出塞尔伯格筛法（用于孪生素数等）、与 soul 定理（与博特）等。