素数定理

详细描述

设 $\pi(x)$ 表示不超过 $x$ 的素数个数。人们很早就观察到，素数虽看似杂乱，其”密度”却随 $x$ 增大而缓慢下降。素数定理（Prime Number Theorem）断言

$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x},$

即 $\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)\ln x}{x}=1$；等价地，$\pi(x)\sim\operatorname{li}(x)$（对数积分）。勒让德（A. M. Legendre）在 1798 年猜测 $\pi(x)$ 近似于 $x/(\ln x - 1.08366)$，高斯（C. F. Gauss）则约在 1792–1793 年独立注意到这一渐近规律。问题关键不在于”有没有这么多素数”，而在于”它们分布得有多均匀”。

求解过程

• 切比雪夫（P. L. Chebyshev, 1850s） 证明了对某些正常数 $a<b$ 有 $a\,x/\ln x < \pi(x) < b\,x/\ln x$，并确立 $\pi(x)$ 与 $x/\ln x$ 同阶，但未给出极限。
• 突破来自黎曼 ζ 函数 $\zeta(s)=\sum n^{-s}$。黎曼 1859 年指出，素数分布与 $\zeta(s)$ 在复平面上的零点密切相关。
• 1896 年，雅克·阿达马（Jacques Hadamard） 与 夏尔·让·德拉瓦莱普桑（Charles Jean de la Vallée Poussin） 各自独立证明：在 $\Re(s)=1$ 直线上 $\zeta(s)\neq 0$。由此推出素数定理，方法纯属复分析。更初等的（不用复分析）证明由塞尔伯格与埃尔多斯于 1949 年给出。

意义

素数定理是解析数论的奠基性结果，它把素数计数与复变函数深刻相连，并直接催生了关于 ζ 函数零点的黎曼假设这一当代核心难题。

参考资料

• Prime number theorem — Wikipedia
• Riemann zeta function — Wikipedia
• Hadamard, J. (1896). Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s). Bull. Soc. Math. France.