五次方程无根式解
一般五次方程不能由系数经四则运算与开方求解；阿贝尔与伽罗瓦确立。
详细描述
人们早已掌握一次至四次代数方程由系数经四则运算与根式（开方）求解的公式。问题是：一般五次方程是否也有类似的根式通解？五次方程无根式解（Abel–Ruffini 定理）回答：不存在仅用系数经有限次加、减、乘、除与开方表达的一般五次方程求根公式。更一般，对次数 的一般方程，也不存在这样的根式解。
求解过程
- 鲁菲尼（P. Ruffini, 1799） 给出一个证明，意图说明高于四次的方程不可根式解，但其论证存在漏洞、未被广泛接受。
- 阿贝尔（N. H. Abel, 1824） 给出第一个严格证明：他证明一般的五次（及更高次）方程不能根式求解。此时仍停留在”不可能”的否定结论。
- 真正解释”为何某些方程可解、某些不可解”的是伽罗瓦（É. Galois）。他在 1830 年前后（身后发表于 1846 年）创立的理论指出：方程可否根式求解，取决于其伽罗瓦群是否”可解群”（即具有合成因子皆为交换群的次正规列）。五次一般方程的对称群 不可解，故无根式通解；而具体方程能否求解由对应群结构决定。
意义
这一否定性结果标志着代数思想的根本转折：求解问题从”找公式”转为”分析对称性结构”。伽罗瓦理论成为域扩张、群论与现代代数的核心，并直接支撑了后来的代数数论与代数几何。