有限单群分类定理
每个有限单群必属循环、交错、李型或 26 个散在型之一；证明 ~1981 完成。
详细描述
有限单群（finite simple group）是没有任何非平凡正规子群的有限群，正如素数是自然数乘法的”原子”，它们是构造一切有限群的基本建筑块（由若尔当–赫尔德定理保证）。有限单群分类定理（“巨定理”）断言：每一个有限单群，在同构意义下，必属于下列四类之一：
- 素数阶循环群；
- 5 次及以上交错群 ；
- 李型单群（典型群与例外型，含 16 个无限族）；
- 26 个散在单群（sporadic groups，含魔群 Monster）。
求解过程
这是数学史上最庞大的协作工程：
- 1955 年起，相关结果陆续发表；戈伦斯坦（D. Gorenstein） 在 1972 年芝加哥研讨会上勾勒出统一分类纲领，并于 1981 年前后宣布分类”完成”。
- 但当时存在漏洞：拟薄群（quasithin groups）情形未被充分证明。戈伦斯坦原称 1980 年已完成，后改口为 1981 年 2 月；阿施巴赫（M. Aschbacher）指出缺失。
- 阿施巴赫与史密斯（S. Smith） 用约 1221 页（2004 年出版）补齐拟薄群情形，使证明真正闭合。整项证明横跨约 1955–2004 年，数百篇论文、逾万页、约百位作者。戈伦斯坦、莱昂斯、所罗门正陆续出版修订简化版（“第二代证明”）。
意义
分类定理使许多有限群问题可被”逐族核查”地解决，深刻影响了群表示论、组合与数论。它也是人类协作规模与证明复杂度的一座里程碑，并引发了关于”什么是完整证明”的持久讨论。