邓煜 · 世界数学发展史

获奖原因

邓煜（Yu Deng，1988– ）获 2026 年菲尔兹奖，表彰他在非线性偏微分方程与动理学方程（kinetic theory）上的根本性贡献。他最耀眼的成就是与合作者一起，从确定性的硬球（hard-sphere）粒子碰撞系统出发，严格推导出了玻尔兹曼方程（Boltzmann equation），从而回答了自 1872 年玻尔兹曼提出分子混沌假设（Stosszahlansatz）以来悬而未决的核心问题：宏观的气体动理论方程究竟能否从微观的牛顿力学严格导出。

他发展出处理碰撞奇性、建立”混沌传播”（propagation of chaos）并获得显式收敛速率的全新方法，把 Lanford 在 1975 年给出的短时推导大幅推进，并应用于玻尔兹曼方程的长时间行为、H-定理与色散方程等领域。

问题来龙去脉

一、玻尔兹曼方程与分子混沌假设

1872 年，路德维希·玻尔兹曼写下描述稀薄气体演化的方程

$\partial_t f + v\cdot \nabla_x f = Q(f,f),$

其中 $f=f(t,x,v)$ 是相空间中的粒子密度， $Q$ 为碰撞算子

$Q(f,f)(v)=\int_{\mathbb R^3}\int_{S^2} B(v-v_*,\omega)\big(f'_*f'-f_*f\big)\,d\omega\,dv_*.$

这里 $f_*=f(v_*)$ 、 $f'=f(v')$ 、 $f'_*=f(v'_*)$ 为碰撞前后的速度， $B$ 为碰撞核。

玻尔兹曼由此证明了 H-定理：熵 $H(t)=\iint f\log f\,dv\,dx$ 沿演化单调不增，从而论证宏观不可逆性可由可逆的微观力学产生——其关键一步便是假设碰撞前两粒子的速度”统计独立”（分子混沌假设）。但这一假设本身长期缺乏严密证明：微观力学完全确定、可逆，为何微观关联可以被忽略？

二、从粒子系统到动理学极限

考虑 $N$ 个弹性硬球在盒子中的牛顿运动，其 $N$ 粒子分布满足刘维尔方程。玻尔兹曼的猜想是：当 $N\to\infty$ 、粒子半径 $r\to 0$ （稀薄极限）并按格拉德（Grad）标度 $Nr^2\sim 1$ 时， $k$ 粒子边缘分布会收敛到由玻尔兹曼方程给出的”混沌态”——这就是从 BBGKY 层级 到玻尔兹曼方程的推导，也即 混沌传播（propagation of chaos）。

Lanford（1975）首次在极短的实数时间尺度 $O(1/N)$ 上证明了这一极限，但时间太短、且推导高度依赖 BBGKY 层级的复杂迭代。真正的困难在于：硬球碰撞具有奇性（测度为零的瞬时碰撞会产生大速度跳变），常规的能量估计会被碰撞奇性破坏。

三、邓煜的突破

邓煜与合作者发展了新的碰撞树（collision tree）与树形展开方法，把多体关联按”碰撞历史”层层分解、逐代控制。关键创新在于：

用 Wild 级数 / 树状展开把 $N$ 体关联写成碰撞树的加权和，利用碰撞核的对称性抵消发散项；
建立 显式的收敛速率（不只是存在性），给出从粒子系统到玻尔兹曼方程的量化误差界；
把推导有效的物理时间尺度从 $O(1/N)$ 推进到与体系规模相当的量级，并为玻尔兹曼方程后续长时间演化（包括 H-定理的长期成立）提供数学保证。

这套方法不只坐实了”动理学极限”的经典直觉，也重新激活了 BBGKY 层级、Landau 方程（库仑长程碰撞的极限）以及等离子体物理中 Vlasov 方程的严格研究。

四、意义与后续

邓煜的工作把自玻尔兹曼以来一百五十年的”物理直觉”变成了可检验、可量化的数学定理，是动理学理论现代复兴的基石。它与统计力学基础（遍历论、平衡态）、非平衡输运，以及玻色–爱因斯坦凝聚、等离子体等应用方向紧密相连，也为”如何从确定性的微观定律产生宏观不可逆性”这一深刻问题树立了范式。在此之外，他在色散方程与波动方程的长时间行为上也有奠基性贡献。