阿莱西奥·菲加利 · 世界数学发展史

获奖原因

阿莱西奥·菲加利（Alessio Figalli，1984– ）获 2018 年菲尔兹奖，表彰他在**最优传输（optimal transport）**理论及其在偏微分方程、几何中的深刻应用。

最优传输问：如何以最小”搬运代价”把质量分布 $\mu$ 变成 $\nu$ ？其最优映射 $T$ 满足蒙日–安培（Monge–Ampère）方程 $\det(D^2 u)=f/g(\nabla u)$ 。菲加利系统发展了该映射的正则性理论：他给出密度满足”非退化条件”时 $T$ 的 $C^{1,\alpha}$ / $W^{2,p}$ 正则性判据（与 Ma–Trudinger–Wang 条件相连），并把这用于：

半地转方程（semi-geostrophic equations）：证明大气/海洋模型解的整体存在性与正则性；
自由边值问题：与卡法雷利（Caffarelli）合作，研究障碍问题、非局部方程的自由边界；
几何不等式的定量版：如等周不等式的稳定性（离等周最优越近，对称度越高），给出显式收敛速率；
相变与 Ginzburg–Landau / 玻色–爱因斯坦凝聚：与 Seiringer 等研究 GL 方程解的导数收敛。

菲加利把最优传输从”纯分析工具”变成连接 PDE、几何与物理的通用框架。

问题来龙去脉

一、最优传输与 Monge–Ampère

给定两个概率测度 $\mu,\nu$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上，蒙日问题求可测映射 $T$ 使 $T_\#\mu=\nu$ 且搬运代价 $\int |x-T(x)|^2\,d\mu$ 最小。布雷尼尔（Brenier，1991）证明：当 $\mu$ 绝对连续时，最优 $T$ 必为某个凸函数 $u$ 的梯度 $T=\nabla u$ ，且 $u$ 满足Monge–Ampère 方程 $\det(D^2 u(x)) = \frac{d\mu}{d\nu}(\nabla u(x)).$ 于是”最优传输映射的正则性”归结为”蒙日–安培解的正则性”——这是完全非线性椭圆 PDE 的核心难题。

问题：什么时候 $T$ （或 $u$ ）是光滑/有界的？直观上，若目标密度 $\nu$ 在某处”聚集”（如一点质量），则 $T$ 会”撕裂”（不连续）。菲加利要给出 $T$ 正则的充要条件。

二、菲加利的突破：正则性的判据

菲加利与 Caffarelli、Rindler、Villani 等发展出系统的正则性理论：

Ma–Trudinger–Wang (MTW) 条件：在黎曼/一般代价下，最优映射正则性依赖于代价函数的”曲率型”条件（MTW 条件，即代价的三阶/四阶量满足某凸性）。菲加利在欧氏平方代价下证明：若两密度都”有界且远离 0/∞“且支撑满足几何条件，则 $T\in C^{1,\alpha}$ （甚至 $W^{2,p}$ ）。
定量稳定性：他证明若 $\mu,\nu$ 接近（例如都接近标准高斯），则最优映射接近恒等，且收敛有显式速率——这把”正则性”变成”可估的误差”。
应用到自由边值：把最优传输的”c-凸性”与卡法雷利的障碍问题理论对接，得到非局部障碍问题（如分数阶 obstacle）自由边界的正则性。

三、半地转方程与物理

菲加利把上述工具用于半地转方程（描述旋转流体中的大尺度运动，气象/海洋模型）：此前该方程解的存在性仅局部已知。他证明：用最优传输的”对偶”框架，可构造整体弱解且其速度场具一定正则性——首次把最优传输方法成功用于演化 PDE。

此外，他与 Seiringer 研究玻色–爱因斯坦凝聚的 GL 泛函，证明当粒子数 $N\to\infty$ 时，GL 能量极小元收敛到托马斯–费米（Thomas–Fermi）极限，给出定量速率——这依赖最优传输的” Wasserstein 梯度流”视角（OT 是向平衡演化的自然度量）。

四、意义与后续

最优传输的主流化：菲加利的工作使最优传输成为 PDE、几何、概率、机器学习（Wasserstein GAN、点云配准）的通用语言；他的正则性判据是任何”用 OT 做分析”的研究者必引的定理。
几何不等式的定量版：他的”等周不等式稳定性”给出”一个集合离球越近，其对称缺陷越小”的显式收敛率，解决了几何测度论中长期定性的猜想。
与蒙日–安培传统的汇合：他把维拉尼（位移凸性）、卡法雷利（自由边值）与最优传输缝合，延续并拓展了 20 世纪末的蒙日–安培复兴。

菲加利以”把最优传输变成可计算、可估的正则性理论，并推向物理 PDE”的成就，成为现代分析及最优传输领域最具影响力的代表人物之一。