丘成桐 · 世界数学发展史

获奖原因

丘成桐（Shing-Tung Yau，1949– ）获 1982 年菲尔兹奖（1983 年于华沙 ICM 实际颁发），核心是证明卡拉比猜想（Calabi conjecture，1977），由此确立卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）的存在性。

卡拉比（E. Calabi，1954）猜想：在紧凯勒流形上，若其第一陈类 $c_1=0$ （或为负），则存在唯一的凯勒度量使 Ricci 曲率等于给定值——特别地，当 $c_1=0$ 时存在Ricci-平坦度量。丘成桐把问题化为一个复 Monge–Ampère 方程，并用连续性方法 + 精细的先验估计（ $C^0,C^2,C^3$ 估计，引入”丘氏估计”）证明其解存在。这一结果成为弦论中”紧化”的几何基础——6 维 Calabi–Yau 流形承载超弦的额外维度，并催生镜像对称（mirror symmetry）。

丘成桐还以几何分析方法攻克多个难题：与舍恩（Schoen）证明正质量猜想（广义相对论中 ADM 质量非负，用极小曲面）；证明弗兰克尔（Frankel）猜想、闵可夫斯基问题；并在调和映射、极小子流形、特征值估计上贡献卓著。他是首位获菲尔兹奖的华人数学家，于 2010 年获沃尔夫奖。

问题来龙去脉

一、卡拉比猜想

1954 年，卡拉比在凯勒几何中提出：设 $(M,\omega)$ 为紧凯勒流形、 $\mathrm{Ric}$ 为其 Ricci 形式。给定任意闭的 $(1,1)$ -形式 $\rho$ 使其上同调类等于 $2\pi c_1(M)$ ，是否存在凯勒度量 $\tilde\omega$ 满足 $\mathrm{Ric}(\tilde\omega)=\rho\ ?$ 特别地：

若 $c_1(M)<0$ ，可取到 $\rho<0$ ，得负 Ricci 曲率度量；
若 $c_1(M)=0$ ，取 $\rho=0$ ，得Ricci-平坦度量。

这关系到一个根本问题：凯勒流形的复结构与”好”的曲率度量能否自由匹配？ 1970 年代初，丘成桐一度”反证”此猜想（以为能构造反例），随后转变方向正面证明它。

二、化为复 Monge–Ampère 方程

丘成桐的关键转化：设新度量 $\tilde\omega=\omega+i\partial\bar\partial\varphi$ （ $\varphi$ 为凯勒势），Ricci 平坦条件 $\mathrm{Ric}(\tilde\omega)=0$ 等价于 $\tilde\omega^n = e^{F}\,\omega^n$ 对某个由陈类决定的函数 $F$ （更一般地， $\mathrm{Ric}=\rho$ 给出 $\tilde\omega^n = e^{f-F}\omega^n$ ）。于是问题变成求解复 Monge–Ampère 方程 $(\omega+i\partial\bar\partial\varphi)^n = e^{f}\,\omega^n,\qquad \varphi\text{ 使 }\omega+i\partial\bar\partial\varphi>0.$

这是高度非线性的椭圆型完全非线性 PDE——比实 Monge–Ampère 更微妙（需保持 $(1,1)$ -正性）。当时这类方程在紧流形上的整体存在性无人能证。

三、丘的突破：连续性方法 + 先验估计

丘用连续性方法：把目标 $\rho_t=t\rho$ 从 $t=0$ （已知解 $\varphi=0$ ）连续变形到 $t=1$ 。要保证解”不断裂”，只需证明解在每一 $t$ 有一致的先验估计。他给出了里程碑式的三道估计：

$C^0$ 估计：用极大值原理 + 比较函数，控制 $\sup|\varphi|$ （后来被称为”丘氏 $C^0$ 估计”，其思想被后续大量复几何工作沿用）；
$C^2$ 估计：通过对 Laplacian $\Delta\varphi$ 的极大值原理，控制二阶导数的上界（需处理复 Hessian 的特征值）；结合 Evans–Krylov 型论证得到 Hölder 二阶估计；
$C^3$ 及更高：再做一次求导的极大值原理得到三阶，从而由椭圆正则性升级到光滑解。

由此连续性方法闭合， $t=1$ 的解存在且唯一（唯一性由极大值原理直接得）——卡拉比猜想得证。

四、意义与后续

Calabi–Yau 流形的诞生： $c_1=0$ 的 Ricci-平坦凯勒流形即 Calabi–Yau（CY）流形。在弦论中，10 维时空要求额外 6 维”紧”成 CY 流形，其特殊全息（holonomy = SU(3)）给出 $\mathcal{N}=1$ 超对称——CY 因此成为超弦紧化的标准舞台。
镜像对称：90 年代数学家发现”一对” CY 流形的计数不变量（Gromov–Witten 不变量）互为镜像，开启镜像对称与 Givental/ Kontsevich 的枚举几何革命；丘成桐的学生（如田刚、刘克峰等）在 SYZ 猜想、体积猜想上推进。
几何分析的范式：丘把”几何存在性”化为”非线性 PDE 的先验估计”的方法（几何分析），被唐纳森、赛博格–威滕、以及佩雷尔曼的里奇流证明所继承。
正质量猜想：与舍恩用极小曲面方法证明：渐近平坦的时空若满足主能量条件，则 ADM 总质量 $m\ge 0$ （且 $m=0$ 当且仅当是 Minkowski 空间）。这是广义相对论与微分几何深度结合的标志性结果。

丘成桐以”用分析的利刃雕刻几何”的风格，开启了几何分析这一庞大领域；Calabi–Yau 流形则成为连接纯数学与理论物理的最著名桥梁之一。