爱德华·威滕
用数学物理（规范场论、弦论、拓扑量子场论）深刻推进低维拓扑、微分几何与量子场论
获奖原因
爱德华·威滕是当代最具影响的数学物理学家，唯一的菲尔兹奖得主（1990）出身于物理学。他用量子场论与弦论的思想解决了纯数学中的深刻难题：包括唐纳森不变量与赛伯格–威滕理论的统一、琼斯多项式的物理解释、镜面对称的”威滕–狄杰格拉夫（Witten–Vafa）“公式、以及正质量定理。2015 年首届数学突破奖授予他，表彰其终身贡献。
问题来龙去脉
威滕的风格是：把物理的”路径积分”直觉转化为严格的数学构造。他的标志性成果包括：
一、拓扑量子场论（TQFT）与琼斯多项式。 1988 年，威滕用陈–西蒙斯（Chern–Simons）规范理论重新解释了沃恩·琼斯（Vaughan Jones）的纽结不变量。他在三维流形 上考虑陈–西蒙斯作用量
并指出其路径积分（在适当的”量子”水平上）给出三维流形的拓扑不变量，而其在边界（ 上的纽结）的”真空期望值”正是琼斯多项式的推广（HOMFLY、Kauffman 等）。这开创了”量子拓扑”领域，并催生了 Reshetikhin–Turaev 不变量与”拓扑量子计算”的研究。
二、赛伯格–威滕理论与唐纳森不变量的统一。 1994 年，威滕指出：赛伯格–威滕（Seiberg–Witten）方程
（其中 是旋量场， 为二次型）定义的模空间比唐纳森的瞬子模空间更简单，但二者在”大质量极限”下给出的四维流形不变量应一致。他提出”威滕猜想”：唐纳森多项式可由赛伯格–威滕不变量重构——这后来由 Feehan–Leness 等人严格证明。此工作让四维拓扑的许多计算变得可行。
三、镜像对称与弦论。 威滕与 C. Vafa、Dijkgraaf 等用”拓扑弦”给出了镜像对称的物理推导，并证明”计数有理曲线的 Gromov–Witten 不变量 ↔ 周期积分”的镜面公式（与 Candelas 等计算一致）。他还与 B. Greene、P. Aspinwall 发展”凝聚态膜”（D-brane）与导出范畴的联系。
四、微分几何与广义相对论。 威滕（1981）给出”正质量定理”的极简证明：用旋几何与 Dirac 算子，证明渐近平坦时空的总质量非负，且为零当且仅当是平直时空。这个证明把指标定理用到广义相对论，影响深远。他还研究”超对称与指标定理”（威滕指标给出超对称真空数），以及”Morse 理论”的”威滕形变”（用二次微分算子给出莫尔斯同调的解析构造）。
五、杨–米尔斯与质量间隙。 威滕在”杨–米尔斯存在性与质量间隙”（千禧年问题）上也有物理贡献：他用弦论对应（AdS/CFT 的雏形）讨论 QCD 的禁闭，并研究瞬子与 “t Hooft–Polyakov 磁单极。
威滕表明：最深刻的数学往往先在物理中”显形”。他让”量子场论”成为现代几何分析的通用语言，是 20–21 世纪数学与物理交汇的灵魂人物。