概述

量子理论（MSC 81）的数学框架由冯·诺依曼在 1932 年系统建立：物理态是复 Hilbert 空间中的单位向量（或密度算子），可观测量是对应的自伴算子，其谱给出可能的测量值，而期望值由内积给出。海森堡（1925 年矩阵力学）与薛定谔（1926 年波动力学）的早期形式被统一到此框架。

核心问题包括：求解含时与定态薛定谔方程 $i\hbar\partial_t\psi = H\psi$ 及其本征谱；散射理论（波算子的存在与完备性）；以及对称性通过群表示（如旋转群 SO(3)、洛伦兹群）进入能级简并。量子场论则把算子值分布定义在时空上，涉及重整化等深刻数学问题。

量子理论与算子理论（谱理论、C* 代数）、统计力学（量子多体）及相对论（相对论性量子力学与量子场论）深度交融，是现代物理与量子信息、量子计算的理论基础。