马克西姆·孔采维奇

获奖原因

马克西姆·孔采维奇是当代数学物理与代数几何的巨擘。他在 1997 年证明了”形变量子化”的普遍存在性（即任意泊松流形可形变量子化），构造了”孔采维奇积分”给出纽结的同调不变量，并发展了 Gromov–Witten 不变量与同调镜像对称理论。他还对 M_2、模空间、与” motivations”作出深刻贡献。2015 年数学突破奖授予他，表彰其横跨数学与物理的创造力。

问题来龙去脉

一、形变量子化（Deformation Quantization）。 经典力学中，相空间 $M$ 是辛流形，函数环 $C^\infty(M)$ 上泊松括号 $\{f,g\}$ 给出李代数结构。量子化要求把交换代数”变形”为非交换代数，使对易子逼近泊松括号：

$f \star g = fg + \frac{i\hbar}{2}\{f,g\} + O(\hbar^2).$

孔采维奇（1997）证明：对任意（甚至奇异的）泊松流形，这样的形变量子化普遍存在。他的构造用”图展开”：星形积的系数由”加权费曼图”的和给出，每个图对应一个”孔采维奇积分”

$\int_{\mathrm{conf}_n(\mathbb{C})} \omega_{K_1} \wedge \cdots \wedge \omega_{K_n},$

其中 $\omega$ 是 $\mathbb{C}$ 上由二点配置定义的微分形式，图的结构编码了泊松张量的收缩。这一”图形微扰”方法把量子场论的费曼图技术引入了纯代数几何，成为”变形量子化”的标准。

二、纽结不变量（孔采维奇积分）。 他构造了一个从”权图”（wheel graphs）出发的纽结不变量：对纽结 $K \subset \mathbb{R}^3$，在某个高维构型空间上取”孔采维奇积分”，得到一个独立于正则投影的同调不变量 $Z(K)$（属于弦拓扑）。这与 Vassiliev 不变量、以及后来的”有限型不变量”理论深刻相连，并被 Bar-Natan、大栗（Okounkov）等推广。

三、Gromov–Witten 与镜像对称。 在辛几何中，Gromov–Witten 不变量 $GW_d(X,\beta)$ 计数从黎曼曲面到辛/代数簇 $X$ 的伪全纯曲线，给出量子上同调的乘法。孔采维奇与马宁（Manin）用”量子上同调”与”量子联络”描述了这些不变量的”分裂公理”，并证明了”孔采维奇–马宁公式”。更重要的是，他提出”同调镜像对称”：把镜像对称从”簇 ↔ 簇”提升为”导出范畴 $D^b\mathrm{Coh}(X)$ ↔ Fukaya 范畴 $\mathrm{Fuk}(X^\vee)$“的等价——这是现代镜像对称的范畴化纲领，深刻影响了代数几何与弦论。

四、其他贡献。 他研究模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的积分（“孔采维奇–威滕 τ-函数”与 KdV 层次）、朗兰兹纲领的”几何”版本、以及”非交换 Motive”理论。

孔采维奇的独特在于：他既能写出物理直觉般的猜想，又能给出严格而优美的证明；他架起了”量子场论 ↔ 代数几何”的桥，是当代数学与理论物理交汇处最有影响力的建筑师之一。

相关链接

突破奖 代数几何微分几何量子理论