凯伦·乌伦贝克
几何分析与规范理论的奠基者，证明杨–米尔斯方程的奇点可去性与库仑规范存在，并发展极小曲面理论
获奖原因
凯伦·乌伦贝克是当代几何分析的先驱，也是首位获得阿贝尔奖的女性。她在规范场论（杨–米尔斯方程）、极小曲面与哈密顿系统上的工作，为现代几何分析奠定了分析基础。她证明杨–米尔斯联络的奇点可在低维被”去除”，并构造了库仑规范下的存在性与估计；在极小曲面中揭示了”气泡”（bubbling）现象。2019 年阿贝尔奖表彰其”对几何分析的奠基性贡献及其对分析、几何与数学物理的深远影响”。
问题来龙去脉
乌伦贝克的工作处在一个核心交界处：把偏微分方程的分析工具用于刻画几何对象（联络、极小曲面）的整体性质。
一、杨–米尔斯方程与奇点可去性。 在黎曼流形 上，一个联络 的曲率 衡量其”扭曲”。杨–米尔斯方程要求 （即曲率满足调和方程），其解对应”能量极小”的联络，是物理学中规范场（如 SU(2) 杨–米尔斯场）的数学模型。能量泛函为
乌伦贝克的关键结果是奇点可去性定理：若在四维（或更一般低维）流形上，一个杨–米尔斯联络的能量在一点附近有限（更准确地说，满足某种 范数界），则该点的奇点是”伪奇点”——可通过规范变换（选择一个合适的局部标架）把它光滑化，从而得到一个整体光滑联络。技术核心是她构造的库仑规范（即要求 的规范切片），在此规范下把杨–米尔斯方程写成一个椭圆系统，并用椭圆估计把曲率的控制提升为联络的控制。
她还证明：在紧四维流形上，能量有界的杨–米尔斯联络序列会在有限个点”冒泡”——即 concentrating 出一个标准瞬子（instanton）。这一”bubbling”现象后来成为所有几何流（调和映照、极小曲面、平均曲率流）奇点分析的范本，并由 Taubes 等人发展为计数瞬子的 Donaldson 不变量理论。
二、极小曲面中的气泡。 乌伦贝克与舍恩（Schoen）合作，研究从黎曼面到流形的调和映照序列，证明弱极限在有限点处冒出”泡泡”——即一个非平凡调和球面分支。这一结果把莫尔斯理论引入极小曲面与调和映照，使得人们能用代数拓扑方法证明极小曲面的存在性。
她的分析风格——用规范选取把几何方程化为可估计的椭圆系统，并用能量单调性与冒泡描述奇点结构——定义了”几何分析”这一领域的标准手法，深刻影响了 Donaldson、Taubes、以及后来的 Seiberg–Witten 与镜像对称理论。
乌伦贝克还长期倡导女性参与数学，创立”女性数学暑期研讨会”（SWM），其榜样意义与学术贡献同样深远。阿贝尔奖对她的授予，既是对杨–米尔斯分析与极小曲面理论的认可，也象征着数学界对多元与包容的郑重承诺。