彼得·拉克斯
对偏微分方程理论与应用的深刻贡献，提出拉克斯对与可积系统、逆散射方法，并建立数值格式的收敛性准则
获奖原因
彼得·拉克斯是纽约大学库朗研究所的旗手，20 世纪偏微分方程（PDE）与应用数学的领军人物。他的贡献涵盖双曲型方程理论、散射理论、可积系统与数值分析。最广为流传的两项成果是：刻画双曲守恒律解的”拉克斯熵条件”，以及揭示孤立子方程可积性的”拉克斯对”（Lax pair）。2005 年阿贝尔奖表彰其”对 PDE 理论及其应用的开创性贡献”。
问题来龙去脉
拉克斯的工作集中于一个朴素却困难的问题：非线性波如何演化，又为何有时会保持稳定？
1950–60 年代，他对双曲型守恒律方程组 给出严格的数学理论。这类方程描述激波、交通流、气体动力学，其解在有限时间内会产生间断（激波），经典光滑解不再存在。拉克斯提出”弱解 + 熵条件”的框架：物理上可接受的解必须使总”熵”不增，即满足拉克斯熵不等式；他还给出激波两侧状态必须满足的拉克斯激波条件（特征线在激波处”进入”而非”离开”）。这一框架使激波的数学处理变得严格，并催生了现代计算流体力学。
更具想象力的是他在 1968 年提出的”拉克斯对”。考虑 KdV 方程 它描述浅水长波，以出现形状不变的孤立子（soliton）著称。拉克斯发现，KdV 可改写为算子方程 其中 是薛定谔算子， 为某微分算子。这个”拉克斯方程”的奥妙在于：它保证 的谱随时间不变——于是求解 KdV 转化为”固定谱、反求势函数 “的逆散射问题（后由 Gardner–Greene–Kruskal–Miura、Zakharov–Faddeev 完成）。孤立子因此被解释为散射数据中的离散本征值，其弹性碰撞是谱守恒的几何表现。
“拉克斯对”由此成为识别可积系统的通用钥匙：只要一个非线性演化方程能写成 形式，就拥有无限多守恒律与逆散射解法。这一思想催生了整个可积系统理论（AKNS 层次、非线性薛定谔、KP 方程等），并深刻回授给泛函分析与算子谱理论。
在应用侧，拉克斯与里希特迈尔（Richtmyer）给出”拉克斯等价定理”：对适定的线性初值问题，一个有限差分格式只要”一致稳定”就必定”收敛”——这是数值 PDE 的基石性判据，至今仍是计算数学教材的标配。此外，他对散射矩阵、半群理论、复分析方法的贡献，把纯分析与物理直觉熔于一炉。
拉克斯的生涯展示了一位数学家如何同时是理论家与应用者：他既为激波建立严格的熵框架，又为孤立子找到优美的算子几何，还给了数值计算一把可靠的标尺。阿贝尔奖正是这种”贯通理论与应用”的至高肯定。