沃利斯与无穷算术

约翰·沃利斯以"无穷算术"给出沃利斯乘积，连接π与偶数奇数之比，是微积分的前奏。

时代: 17世纪
文明 / 地域: 欧洲

背景

约翰·沃利斯（John Wallis，1616—1703）是英国皇家学会创始成员、牛顿的前辈。1655 年出版《无穷算术》（Arithmetica Infinitorum），用”无穷小”与极限思想处理面积与级数，为微积分铺路。

详细描述

沃利斯最著名的成果是沃利斯乘积：

$\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdots=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}$

他从插值半整数次幂的”面积”出发，归纳出这一联系 $\pi$ 与奇偶整数之比的无穷积。他还用极限思想讨论 $\frac{0}{0}$ 、确立无穷大符号 $\infty$ ，并研究摆线等曲线。

求解过程 / 影响

沃利斯把”无穷”与”极限”作为合法的数学对象，是从古典几何向分析学过渡的关键一环。他的乘积后来被欧拉、牛顿的插值法所继承，并直接启发了牛顿的无穷级数研究。《无穷算术》被视为微积分诞生前最重要的分析著作之一。