黎曼提出黎曼猜想

黎曼1859年论文提出ζ函数零点猜想，连通素数分布，成世纪难题。

时代: 19世纪
文明 / 地域: 欧洲

背景

素数分布是数论的核心问题。欧拉早已将素数联系于ζ函数 $\zeta(s)=\sum n^{-s}$ ；高斯猜想素数计数函数 $\pi(x)\sim \mathrm{li}(x)$ 。但素数为何”看似随机”却隐含规律，长期悬而未决。

详细描述

1859年，新当选柏林科学院通信院士的波恩哈德·黎曼提交仅8页的论文《论小于给定数值的素数个数》。他将ζ函数解析延拓到复平面（除 $s=1$ 的极点），得到函数方程，并给出素数计数与ζ零点关系的显式公式：素数围绕其”平均位置”的振荡由ζ的非平凡零点控制。黎曼注意到平凡零点为 $s=-2,-4,\dots$ ，并猜想所有非平凡零点都位于临界线 $\mathrm{Re}(s)=\tfrac12$ 上，即

$\zeta(s)=0,\ 0<\mathrm{Re}(s)<1\ \Longrightarrow\ \mathrm{Re}(s)=\frac12.$

求解过程 / 影响

黎曼猜想将复分析与数论深刻连通：若成立，则素数分布误差达到最小可能界。它是希尔伯特1900年23个问题之第8，也是2000年克雷千年七大难题之一，悬赏百万美元。至今超万亿个零点经计算均落在临界线上，但仍缺严格证明。数以千计的数学命题以其成立为前提，足见其枢纽地位——它被誉为”数学中最著名的未解问题”。