黎曼猜想

详细描述

1859 年，黎曼在论文《论小于给定数值的素数个数》中研究黎曼 ζ 函数

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$

的解析延拓，并提出著名猜想：所有非平凡零点都满足 $\operatorname{Re}(s)=1/2$，即落在临界线

$\Re(s)=\frac{1}{2}$

上。平凡零点位于负偶数 $s=-2,-4,\dots$。

黎曼通过”黎曼显式公式”将素数计数函数 $\pi(x)$ 与零点联系起来：若 RH 成立，则

$\pi(x)=\operatorname{li}(x)+O(\sqrt{x}\log x)$

这是可能的误差最优上界。

最新进展

数值验证方面，Gourdon 与 Demichel 于 2004 年用 Odlyzko–Schönhage 算法确认前 $10^{13}$ 个（约十万亿）非平凡零点全部位于临界线上，至今无一反例。理论上，Hardy（1914）证明临界线上有无穷多个零点；Conrey（1989）证明至少 $40\%$ 的零点在临界线上；2024 年 Guth–Maynard 取得零密度估计 84 年来首次实质性改进。黎曼猜想是七大千禧年难题之一，与 BSD、P/NP、霍奇、杨-米尔斯、纳维–斯托克斯、庞加莱（已解）并列。

意义

黎曼猜想是解析数论的基石。数百个数论命题在 RH 下成立，它也与广义黎曼猜想、塞尔伯格迹公式、随机矩阵理论（GUE）深刻相连。其解决将重塑我们对素数分布乃至整个数论的理解。

参考资料

• Riemann hypothesis — Wikipedia
• Clay Mathematics Institute — Riemann Hypothesis
• Gourdon, X. (2004). The 10^13 first zeros of the Riemann Zeta function