庞加莱猜想的提出
1904年庞加莱提出三维单连通闭流形同胚于三维球面，拓扑学核心难题。
背景
1904年，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在关于拓扑学的系列论文（“Cinquième complément à l’analysis situs”）中提出一个看似简单、实则极难的问题。当时的拓扑学正从组合拓扑向现代代数拓扑过渡，三维流形的分类是核心议题。
详细描述
庞加莱猜想：任何单连通的、闭的三维流形都同胚于三维球面 。直观地说，如果在一个三维空间中，每条闭曲线都能连续收缩为一点，那么这个空间必定就是三维球面。
该猜想是拓扑学（尤其是三维流形分类）的枢纽问题。后来被威廉·瑟斯顿（William Thurston）的几何化猜想所推广：任何闭三维流形都可分解为若干标准”块”，每块带有八种标准几何结构之一。庞加莱猜想正是几何化猜想在”单连通”这一特殊情形下的推论。
求解过程 / 影响（含最新进展若相关）
猜想悬置近百年。1982年，理查德·汉密尔顿（Richard Hamilton）引入**里奇流（Ricci flow）**作为攻击工具；2002–2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼基于里奇流与”带手术的里奇流”给出证明（见条目”佩雷尔曼证明庞加莱猜想”），同时证明了更强的几何化猜想。
庞加莱猜想后被列为2000年克莱数学研究所”千禧年七大难题”之一。佩雷尔曼的证明于2006年被数学界公认，但他拒绝领取2006年菲尔兹奖与2010年百万美元千禧年大奖，成为数学史佳话。