希尔伯特23个问题

1900年希尔伯特在巴黎提出23个数学问题，为20世纪数学设定研究议程。

时代: 20世纪
文明 / 地域: 欧洲

背景

1900年8月8日，大卫·希尔伯特（David Hilbert）在巴黎第二届国际数学家大会（ICM）上发表题为《数学问题》的演讲，列出23个数学问题（实际编号1–23，部分含子问题）。彼时数学正经历基础重构，希尔伯特希望通过一批深刻、开放的问题，为整个20世纪的数学研究指明方向。

详细描述

这23个问题横跨数学基础、数论、代数、几何、分析、变分法与概率等领域，影响极为深远。其中与后世关联最紧密的包括：

第1题连续统假设（continuum hypothesis）：实数集的势是否紧接在可数集之后？该问题后来由哥德尔（1940）与科恩（1963）证明在ZFC公理体系下不可判定。
第2题算术公理的相容性：能否在有限步骤内证明算术无矛盾？哥德尔不完备定理（1931）表明这种内部证明不可能。
第7题 某些数的无理性与超越性（如 $2^{\sqrt{2}}$ 的超越性，由盖尔丰德–施奈德定理解决）。
第8题 黎曼假设、哥德巴赫猜想、孪生素数猜想——全部至今仍是核心开放问题。
第10题 判定丢番图方程可解性的算法（由马蒂亚谢维奇基于戴维斯、普特南、罗宾逊的工作于1970年证明不存在这样的算法）。
第23题 变分法的进一步发展。

求解过程 / 影响（含最新进展若相关）

截至今日，23个问题中的绝大多数已被解决或取得重大突破；少数（如黎曼假设、连续统假设的独立性）仍悬而未决。值得注意的是，黎曼假设（源于1859年黎曼的论文）同时出现在希尔伯特问题与2000年公布的”千禧年七大难题”之中，是少数横跨两大历史性问题清单的命题，足见其持久的中心地位。