连续统假设
实数集的基数是否恰为紧接可数集之后的第一个不可数基数，即 2^{ℵ0}=ℵ1。
详细描述
连续统假设（CH）由康托尔于 1878 年提出：在实数集与整数集之间不存在基数严格居中的集合，等价于
即连续统的基数恰为紧接可数无穷 之后的第一个不可数基数。其推广（广义连续统假设 GCH）断言对所有无穷基数 有 。CH 位列希尔伯特 1900 年 23 个问题之首。
康托尔终其一生试图证明 CH 而失败。问题的关键在于：标准集合论公理（ZFC）是否足以决定实数”有多少”。
最新进展
哥德尔（1940）构造可构造宇宙 ，证明在其中 CH 成立，从而说明”CH 不能被 ZFC 否证”（若 ZFC 自身协调）。科恩（1963）发明力迫法，构造出 CH 不成立的 ZFC 模型，从而证明”CH 也不能被 ZFC 证明”。二者合起来确立：在 ZFC 内 CH 是独立的——既不可证也不可否证，可任意作为公理加入。此即该问题状态为”部分”的原因：不是未知，而是在标准公理下被判定为不可判定。Woodin 等当代集合论学者仍在探寻能决定 CH 的新公理。
意义
连续统假设的独立性是 20 世纪数学基础最深刻的发现之一，揭示了形式系统（ZFC）的内在局限，与哥德尔不完备定理遥相呼应。它推动力迫法这一强大工具诞生，并持续引发关于”无穷的真正大小”及数学本体论的基础争论。