ABC 猜想

详细描述

设 $a,b,c$ 为互素正整数且 $a+b=c$。其”根”定义为所有不同素因子的乘积：

$\operatorname{rad}(abc)=\prod_{p\mid abc}p$

ABC 猜想（Oesterlé–Masser 猜想）断言：对任意 $\varepsilon>0$，除有限例外，都有

$c<\operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$

换言之，若 $a,b$ 只含少量小素因子（即 $\operatorname{rad}(abc)$ 很小），则 $c$ 通常也不能太大。

该猜想由 Joseph Oesterlé 与 David Masser 于 1985 年在讨论 Szpiro 猜想时提出。Goldfeld 称其为”丢番图分析中最重要未解问题”。它威力巨大：费马大定理、卡塔兰猜想、Mordell 猜想等均可由 ABC 猜想（或其变体）直接推出。

最新进展

2012 年，望月新一（Shinichi Mochizuki）发表基于”宇宙际 Teichmüller 理论”（IUT）的约 500 页证明，但长期仅极少数人能读懂。2018 年，Scholze 与 Stix 发表论文《Why abc is still a conjecture》，指认证明中存在”严重”漏洞且小修无法补救；双方会面未能达成共识。2021 年望月新一的证明经修订后发表于其任主编的 PRIMS 期刊，但主流数学界仍普遍视其为未证明。由此该猜想状态为”部分/未决”：无公认证明，也无反例。

意义

ABC 猜想位于加法与乘法在整数上相互作用的核心。一旦被严格证明，将为大批经典丢番图方程提供统一而简洁的推导，重塑算术代数几何的方法论，其证明所需的全新几何语言本身已是重大数学创造。

参考资料

• abc conjecture — Wikipedia
• Scholze, P., Stix, J. (2018). Why abc is still a conjecture
• Scientific American — The abc conjecture and the Mochizuki proof dispute