代数基本定理 · 世界数学发展史

详细描述

代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）陈述：任意次数 $n\ge 1$ 的复系数一元多项式

$p(z)=a_n z^n+\cdots+a_1 z+a_0 \quad (a_n\neq 0)$

在复数域 $\mathbb C$ 中至少有一个根；等价地， $p(z)$ 可完全分解为 $n$ 个一次因式

$p(z)=a_n\prod_{k=1}^n (z-z_k).$

由此推得：复数域是代数封闭的——任何非常数复系数多项式的根都落在 $\mathbb C$ 内，不必逃到更大的数域。

在严格证明出现前，达朗贝尔（d’Alembert）等人曾给出含漏洞的尝试。

高斯（C. F. Gauss） 在其 1799 年 的博士论文中给出历史上第一个被认真看待的证明（采用几何—分析的思路，基于多项式作为复平面映射的拓扑性质）。
高斯本人后来又给出四个证明：第二个（1815）用积分，第三个（1816）用纯代数辅以复数，第四个（1849）针对实系数情形。
现代标准证明通常借助刘维尔定理或辐角原理（复分析），也有借助代数拓扑（如映射度）或实数域上对称双线性型的证明。

代数基本定理统合了多项式方程的理论：它保证”根的个数等于次数”在复数范围内恒成立，是线性代数、代数几何与数值分析的出发点，也标志着复数从”有用的技巧”上升为不可或缺的数系。