二次互反律

详细描述

二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）回答：对奇素数 $p,q$，方程 $x^2\equiv q\pmod p$ 与 $x^2\equiv p\pmod q$ 的可解性之间有何关系。用勒让德符号 $\left(\frac{a}{p}\right)$（为 $1$ 表示 $a$ 是模 $p$ 二次剩余，为 $-1$ 表示非剩余）表述，定律为

$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.$

辅以两个”补律”：$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}$，$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}$。它把模数较大的二次剩余判别，化为模数较小的判别，从而能层层归约。

求解过程

• 欧拉与勒让德先后提出过该定律的猜想，但都未给出严格证明（勒让德 1785 年的证明有漏洞）。
• 高斯（C. F. Gauss） 于 1796 年 4 月 8 日 给出历史上第一个严格证明，并在 1801 年的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中正式发表；他一生共给出八个不同证明，私下称其为”算术理论的宝石""黄金定律”。
• 此后雅可比、柯西、艾森斯坦等又给出 200 余种证明。高斯的工作启发了更一般的互反律：阿廷（E. Artin）将其推广为类域论的阿廷互反律，希尔伯特第九问题即要求代数数域上的广义互反律。

意义

二次互反律是经典数论的中心定理，也是现代同余语言与代数数论的直接源头。它第一次系统揭示了素数之间的隐藏对称性，至今仍是密码学与计算数论的基本工具。

参考资料

• Quadratic reciprocity — Wikipedia
• Legendre symbol — Wikipedia
• Gauss, C. F. (1801). Disquisitiones Arithmeticae.