费马大定理
方程 $x^n + y^n = z^n$ 在整数 $n>2$ 时不存在正整数解；从费马写下"惊奇的边注"到怀尔斯证明，历时 358 年。
详细描述
1637 年，法国法官兼业余数学家费马在阅读丢番图《算术》时，在书页边写下：
不可能把一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和；一般地，任何高于二次的幂都不能分成两个同次幂之和。我已发现一个真正奇妙的证明，但这里的空白太窄，写不下。
这便是费马大定理（FLT）：对整数 ，方程
没有非零整数解。
求解过程
问题在三个多世纪里难倒无数大家：
- 欧拉（1753）证明了 的情形；
- 勒让德、狄利克雷证明了 、；
- 库默尔引入理想数处理正则素数，攻克了大量指数；
- 20 世纪，谷山–志村猜想（椭圆曲线与模形式的对应）被提出，为 FLT 指出全新路径。
1994 年，安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在历经七年秘密研究、并在紧急修补一处关键漏洞后，最终发表完整证明。其核心是把 FLT 转化为证明一类椭圆曲线必然是模曲线——这正是谷山–志村猜想的特例。
意义
费马大定理的解决并非终点，而是现代数论的起点：它迫使数学家发明的工具（理想数、模形式、伽罗瓦表示）至今仍是数论前沿的核心。